椭圆平行弦中点共线问题 (Collinearity Prob

高中圆锥曲线单元里,一个常见的延伸问题如下:在椭圆  \(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 内所有斜率为 \(2\) 的平行弦,已知这些弦的中点共线,请问其所在直线方程式为何(参见图一)?

换言之,本问题相当于:已知直线 \(y = 2x + k\) 与 \(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 相截于两点 \(A,B\),当参数 \(k\) 变动时,求 \(A\) 与 \(B\) 之中点 \(M(x,y)\) 的轨迹所在直线方程式。

椭圆平行弦中点共线问题 (Collinearity Prob

图一\(~~~\)斜率为 \(m\) 的平行弦中点轨迹所在图形

处理这个问题时,许多学生会搬出「补习班的绝招」:

对椭圆方程式 \(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 作隐函数微分:\(2\frac{x}{9} + 2\frac{y}{4}\frac{{dy}}{{dx}} = 0\),

将斜率 \(\frac{{dy}}{{dx}} = 2\) 代入,可得 \(\frac{{2x}}{9} + \frac{{2y}}{4}2 = 0\),整理得 \(2x+9y=0\) 即为所求。

这个方法可快速地求得答案。然而,一方面微分与隐函数微分并不在高中课程範围内;再者,若不说明相关原理,囫囵吞枣式地记忆此规则,虽可快速求解单一问题,但对于整体学习与概念理解徒然无益,此方法也仅能用于此问题,无法达到学习迁移之效。因此,笔者提供其它与高中课程有关的方法,最后从几何变换的观点反思此问题。

方法一

设直线与椭圆交点 \(A,B\) 坐标分别为 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),

亦即 \((x_1,y_1)\) 与 \((x_2,y_2)\) 为直线与椭圆所构成之联立方程式 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 2x + k…(1)}\\ {\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1…(2)} \end{array}} \right.\) 之解

将 \((1)\) 式代入 \((2)\) 式得 \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{{(2x + k)}^2}}}{4} = 1\),整理后可得 \(40{x^2} + 36kx + 9{k^2} – 1 = 0\)

利用根与係数关係 \({x_1} + {x_2}=- \frac{{36k}}{{40}}=-\frac{9}{{10}}k\),\({y_1} + {y_2} = 2( – \frac{9}{{10}}k) + 2k = \frac{1}{5}k\)

又所求中点 \(M(x,y)\) 满足 \((x,y) = (\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2})\),亦即 \(x=-\frac{9}{{20}}k\) 且 \(y = \frac{1}{{10}}k\)。

消去参数 \(k\) 之后可得 \(2x+9y=0\),即 \(M(x,y)\) 必落在 \(2x+9y=0\) 上,

亦即各平行弦中点所在直线为 \(2x+9y=0\)。

方法二

设直线与椭圆交点 \(A,B\) 坐标分别为 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\),易知:

(1)依题意可知 \(\overleftrightarrow{AB}\) 斜率 \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=2\)

(2)所求中点 \(M(x,y)\) 满足 \((x,y) = (\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2},\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2})\) ,即 \({x_1} + {x_2} = 2x,{y_1} + {y_2} = 2y\)

因为 \(A,B\) 在椭圆上,所以 \(\frac{{{x_1}^2}}{9} + \frac{{{y_1}^2}}{4} = 1\) 且 \(\frac{{{x_2}^2}}{9} + \frac{{{y_2}^2}}{4} = 1\) ,

将两式相减可得 \(\frac{1}{9}({x_2}^2 – {x_1}^2) + \frac{1}{4}({y_2}^2 – {y_1}^2) = 0\) ,

即 \(\frac{1}{9}({x_2} + {x_1})({x_2} – {x_1}) + \frac{1}{4}({y_2} + {y_1})({y_2} – {y_1}) = 0\) ,即 \(\frac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}} = \frac{{4({x_2} + {x_1})}}{{9({y_2} + {y_1})}}\) 。

最后,将前述条件 \((1)\) 与 \((2)\) 代入,可得 \(2 = \frac{{4(2x)}}{{9(2y)}}\),

整理可得 \(M(x,y)\) 必落在直线 \(2x+9y=0\) 上,即各平行弦中点所在直线为 \(2x+9y=0\)。

本问题与上述方法皆可进一步一般化。

同时,若将问题中的椭圆改成抛物线或双曲线时,上述这两种方法同样奏效。

方法三

这里我们先转个弯,若把问题中的椭圆改成圆呢?如图二所示,易知圆的平行弦中点轨迹形成一直径,即落在一条通过圆心的直线上(弦中点与圆心连线必与该弦垂直)。因此,对于圆而言,本问题是显而易解的。

椭圆呢?我们如法炮製,猜测它会是一条通过椭圆中心的直线,因此,我们可以取一条斜率为 \(2\) 的弦,例如 \(y=2x+1\),利用此直线与椭圆解出两个交点

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\displaystyle {y = 2x + 1}\\\displaystyle{\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1} \end{array}} \right.\)

再求两个交点之中点 \(Q(x_0,y_0)\),利用椭圆中心与 \(Q(x_0,y_0)\) 即可求得此直线方程式。不过,利用此方法前,需先确定我们的猜测「通过椭圆中心的直线」成立。

椭圆平行弦中点共线问题 (Collinearity Prob

图二\(~~~\)圆的平行弦中点轨迹会落在通过圆心的直线上

方法四 

我们从仿射变换的观点来看此问题,由于仿射变换可将椭圆变换成圆,并将一组平行线映至另一组平行线,因此,椭圆上的一组平行弦,可利用仿射变换映至圆上的一组平行弦,换言之,我们可适当地造一变换,并以如下步骤处理原问题:

详细过程如下:

我们先对椭圆 \(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 进行伸缩变换,

可将椭圆映至坐标平面上的圆 \(C:\frac{{{X^2}}}{4} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\)(如图三与图四所示),

而此伸缩变换所对应的矩阵为 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\),

即此线性变换为:\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X\\ Y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\)。

而原本平行弦所在的平行线 \(y=2x+k\) 经此伸缩变换后,

变成一组新的平行线 \(Y=3X+k\)(如图三与图四所示),

而这组平行线与圆 \(C:\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 所交各弦的中点,

其所在的直线为过圆心 \(O(0,0)\) 并与 \(Y=3X+k\) 垂直的直线,

即 \(L’:Y=-\frac{1}{3}X\)(如图四所示)。

另一方面,易知 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\) 的反矩阵为 \({A^{ – 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{2}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\) ,

利用线性变换 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{3}{2}}&0\\ 0&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} X\\ Y \end{array}} \right]\) 可将直线 \(L’:Y =- \frac{1}{3}X\) 映至 \(y=-\frac{2}{9}x\),

此时,\(2x+9y=0\) 即为椭圆各平行弦中点所在的直线。

椭圆平行弦中点共线问题 (Collinearity Prob

图三\(~~~\)椭圆、平行弦之中点所在直线

椭圆平行弦中点共线问题 (Collinearity Prob

图四\(~~~\)圆、平行弦之中点所在直线

综合来说,由于一般的仿射变换乃是一个可逆(或一对一)线性变换(invertible linear transformation)再加上一个平移向量的结果,因此,仿射几何乃至于欧氏几何之研究,也自然地可以运用线性代数这种极有威力的工具。

相对于方法一与方法二而言,利用仿射变换来求解,省去诸多代数运算,背后的想法与解题思维,亦可用于其它问题的求解过程中。相较于椭圆而言,我们对于圆的性质,以及相关工具较为熟悉,并且掌握较深。因此,当我们处理与椭圆有关的问题时,不妨可参考上述方法四里的解题思维(如图五所示),利用适当的线性变换 \(T\) 将椭圆映至圆,在圆的世界里,援引相关性质与工具,解决问题后,再利用 \(T^{-1}\) 送回椭圆的世界,如此,便可解决原问题。

椭圆平行弦中点共线问题 (Collinearity Prob

图五\(~~~\)方法四的解题思维

参考文献:

洪万生,〈解析几何之为用:以椭圆平行弦中点共线为例〉。HPM通讯,第十五卷第十二期。
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