椭圆的参数式


圆的参数式

在二上的三角单元教学中,我们曾经学习过利用三角函数将直角坐标系上的点坐标,转换成极坐标。对每一个直角坐标系统上的点 \(P(x,y)\),设它与原点的距离 \(\overline{OP}\) 为 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\),
以 \(x\) 轴的正方向为始边,逆时针旋转到 \(\overrightarrow{OP}\)(\(\overrightarrow{OP}\) 为终边)的角度为 \(\theta\),
因此 \(P\) 点的极坐标表示为 \(P[r,\theta]\)。

既然同一点的坐标有两种表徵,那幺直角座标与极坐标之间又该如何转换呢?此时由广义角的三角函数值定义可知 \(\cos\theta=\frac{x}{r},\sin\theta=\frac{y}{r}\),因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。
亦即直角座标系统中的 \(x\) 与 \(y\) 坐标,可利用三角函数转换成以极坐标中的 \(r\) 与 \(\theta\) 来表示。

椭圆的参数式

在平面座标系统中,对于一个圆心在原点,半径为 \(r\) 的圆而言,圆上的动点 \(P(x,y)\) 满足方程式 \(x^2+y^2=r^2\);又它到圆心 \(O\)(原点)的距离 \(\overline{OP}=r\);以 \(x\) 轴的正方向为始边,逆时针旋转到 \(\overline{OP}=r\) 的角度为 \(\theta\),因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。

由于圆上每一点到圆心(原点)的距离皆为固定的半径 \(r\),
因此得以仅用一个参数 \(\theta\) 来表示圆上的动点 \(P\):\(\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{array} \right., 0 \le \theta < 2\pi \)

椭圆的参数式

藉由指定参数 \(\theta\) 的範围,可以用来表示圆的图形的一部分,

例如以 \(\left\{ \begin{array}{l} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{array} \right., 0 \le \theta \le \pi\) 来表示一圆心在 \((0,0)\),半径为 \(r\) 的圆的上半部。

接下来,当圆的圆心不在原点 \((0,0)\),而在点 \((h,k)\) 时,仅需要考虑平移即可。

将圆心在 \((0,0)\) 的圆上的每一点沿着向量 \(\vec{v}=(h,k)\) 的方向平移一个向量 \(\vec{v}\) 的长度,

因此可得一圆心在 \((h,k)\) 的圆 \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\),

这个圆上动点的参数式为:\(\left\{ \begin{array}{l} x = h + r\cos \theta \\ y = k + r\sin \theta \end{array} \right.,{\rm{ }}0 \le \theta < 2\pi\)

椭圆的参数式

椭圆的参数式

然而对椭圆而言,却不能以同样的方法定义参数式。因为椭圆上的点,到中心的距离是变动的,随动点的位置而变。因此对中心在原点 \((0,0)\) 的椭圆上的动点 \(P(x,y)\) 而言,若依极坐标的方式定义参数式,得到的 \(x=\overline{OP}\cos\theta,y=\overline{OP}\sin\theta\)(如下图),将无法仅以一个参数表示椭圆上的动点。那幺我们该如何定椭圆的参数式呢?重点就在于如何决定 \(\theta\)!

椭圆的参数式

我们先以中心在原点的椭圆来讨论,其标準式为 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\),其中 \(a>0,b>0\)。

从代数的表徵意义来看,由 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 联想到 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\),

所以可设 \(\frac{x}{a}=\cos\theta,\frac{y}{b}=\sin\theta\),

即可得此椭圆的参数式为 \(\left\{ \begin{array}{l} x = a\cos \theta \\ y = b\sin \theta \end{array} \right.,0 \le \theta < 2\pi\)。

但是 \(\theta\) 在哪里呢?这就要从几何意义来说明了。

若将此椭圆作伸缩变换,以椭圆中心为伸缩中心,\(x\) 方向伸缩 \(\frac{1}{a}\) 倍,\(y\) 方向伸缩 \(\frac{1}{b}\) 倍,

亦即将椭圆上的动点 \(P(x,y)\) 作此伸缩变换为 \(P'(x’,y’)\),其中 \(x’=\frac{x}{a},y’=\frac{y}{b}\)。

此时将椭圆变换为一圆心在原点,半径为1的圆,此圆的方程式为 \(x’^2+y’^2=1\)。

若以 \(x\) 轴的正方向为始边,逆时针旋转到 \(\overline{OP’}\) 的角度为 \(\theta\),可得 \(x’=\cos\theta,y’=\sin\theta\)。

因为 \(x’=\frac{x}{a},y’=\frac{y}{b}\),

所以椭圆上动点 \(P(x,y)\) 中的 \(x=a\cos\theta,y=b\sin\theta\) (如下图左)。

椭圆的参数式 椭圆的参数式

此时的 \(\theta\),也可以这样考虑,如上右图:在椭圆的内部作一半径为 \(b\) 的圆,外部作一半径为 \(a\) 的圆,过椭圆上动点 \(P(x,y)\) 作一水平线与一铅直线,与这两个圆分别交于 \(A\) 点与 \(B\) 点。

先假设 \(A,B\) 都在第一象限,

此时 \(A\) 点坐标为 \(A(\sqrt{b^2-y^2},y)\),\(B\) 点坐标为 \(B(x,\sqrt{a^2-x^2})\),

因此 \(\overline{OA}\) 的斜率 \(m_{OA}=\frac{y}{\sqrt{b^2-y^2}}\),\(\overline{OB}\) 的斜率 \(m_{OB}=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}\),

考虑平方相减,\(\frac{{{y^2}}}{{{b^2} – {y^2}}} – \frac{{{a^2} – {x^2}}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2}{y^2} – ({a^2} – {x^2})({b^2} – {y^2})}}{{{x^2}({b^2} – {y^2})}} = \frac{{{x^2}{y^2} – ({a^2}{b^2} – {b^2}{x^2} – {a^2}{y^2} + {x^2}{y^2})}}{{{x^2}({b^2} – {y^2})}} = 0\)

(因为 \(x,y\) 满足 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\))

亦即 \(m_{OA}=m_{OB}\),当 \(A,B\) 在其他象限时亦同理。因此可知此时原点 \(O\) 与 \(A,B\) 三点共线。

若以 \(x\) 轴的正方向为始边,逆时针旋转到 \(\overleftrightarrow{AB}\) 的角度为 \(\theta\),

此时 \(A\) 点坐标为 \(A(b\cos\theta,b\sin\theta)\),\(B\) 点坐标为 \(B(a\cos\theta,a\sin\theta)\),

故可得 \(P(a\cos\theta,b\sin\theta)\)。也就是说,椭圆 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的参数式为

\(\left\{ \begin{array}{l} x = a\cos \theta \\ y = b\sin \theta \end{array} \right.,0 \le \theta < 2\pi\)

当椭圆的中心不在原点 \((0,0)\),而在点 \((h,k)\) 时,此时仅需要考虑平移即可。

将中心在原点 \((0,0)\) 的这个椭圆上的每一点沿着向量 \(\vec{v}=(h,k)\) 的方向平移一个向量 \(\vec{v}\) 的长度,因此可得中心在 \((h,k)\) 的椭圆为 \(\frac{{{{(x – h)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(y – k)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)。

这个椭圆上动点的参数式即为:\(\left\{ \begin{array}{l} x = h + a\cos \theta \\ y = k + b\sin \theta \end{array} \right.,{\rm{ }}0 \le \theta < 2\pi\)。

上一篇: 下一篇: